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Calculadora de mcm y mcd: mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Escribe de dos a seis números y verás los dos resultados a la vez, con la descomposición en factores primos de la que salen.

Actualizado el

Enteros positivos de hasta 12 cifras cada uno. No se admiten el 0, los negativos ni los decimales.

Máximo común divisor (mcd)

Es el mayor número que divide a todos sin dejar resto. Se descompone cada número en factores primos y se toman los factores que están en todos, cada uno con su menor exponente. Con 12, 18 y 30:

  • 12 = 2² × 3
  • 18 = 2 × 3²
  • 30 = 2 × 3 × 5

Factores que están en todos los números, cada uno con su menor exponente: 2 × 3 = 6.

Con dos números hay un camino más corto, el algoritmo de Euclides: se divide el mayor entre el menor, luego el divisor entre el resto, y así hasta que el resto es 0. Con 48 y 18:

  1. 48 = 18 × 2 + 12
  2. 18 = 12 × 1 + 6
  3. 12 = 6 × 2 + 0
  4. El resto es 0: el mcd es el último divisor, 6.

Si el mcd es 1, los números no tienen ningún divisor común aparte del 1 y se llaman primos entre sí.

Mínimo común múltiplo (mcm)

Es el menor número que es múltiplo de todos. Con la misma descomposición, se toman todos los factores que aparecen, estén o no en todos los números, cada uno con su mayor exponente. Con 12, 18 y 30:

Todos los factores que aparecen, cada uno con su mayor exponente: 2² × 3² × 5 = 180.

El mínimo común denominador de varias fracciones es justo esto: el mcm de sus denominadores. Y con dos números se cumple que mcd × mcm es igual al producto de los dos: con 48 y 18, 6 × 144 = 864 = 48 × 18.

Casos particulares

  • Si uno de los números es 1, el mcd es 1 y el mcm es el mismo que sin él.
  • Si todos los números son iguales, el mcd y el mcm son ese mismo número. Repetir un número no cambia nada.
  • Si un número divide a otro, el mcd de los dos es el pequeño y el mcm es el grande.
  • El 0 y los negativos no se admiten. Con negativos, el mcm y el mcd se calculan igual quitando el signo; con el 0, el mínimo común múltiplo deja de tener sentido.

¿Existen el mínimo común divisor y el máximo común múltiplo?

Como conceptos útiles, no. El menor divisor común de cualquier grupo de números enteros es siempre 1, porque el 1 los divide a todos; por eso lo que se calcula es el mayor, el máximo común divisor. Y los múltiplos comunes no tienen máximo: si un número es múltiplo de todos, su doble también lo es; por eso lo que se calcula es el menor, el mínimo común múltiplo. Si buscabas alguno de esos dos nombres, lo que necesitas es el mcd o el mcm, y esta calculadora da los dos.

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